Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear yang masing-masing persamaannya berkonstanta $0$. Bentuk umumnya adalah
$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = 0 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = 0 \end{cases}$
Analisis SPL nomor $1$:
$\begin{cases} 4x+y+z & = y-2 \\ 3x+2z & = 2y \\ 3y+z & = 0 \end{cases}$
Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya.
$\begin{cases} 4x+z& = -2 && (\cdots 1) \\ 3x-2y+2z & = 0 && (\cdots 2) \\ 3y+z & = 0 && (\cdots 3) \end{cases}$
Tampak bahwa persamaan $(1)$ memuat konstanta $-2$ sehingga SPL tersebut tidak homogen.
Analisis SPL nomor $2$:
$\begin{cases} x-y+4 & = 4 \\ 10x-2y+2 & = z+2 \\ 6x-y & = 2y \end{cases}$
Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya.
$\begin{cases} x-y & = 0 \\ 10x-2y-z & = 0 \\ 6x-3y& = 0 \end{cases}$
SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$.
Analisis SPL nomor $3$:
$\begin{cases} 5y+3z+2 & = x+2 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z+100 & = 100 \end{cases}$
Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya.
$\begin{cases} -x+5y+3z & = 0 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z& =0 \end{cases}$
SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$.
Analisis SPL nomor $4$:
$\begin{cases} 10-x+z & = 5y+10 \\ 5x+3y & = 2z+5 \\ 7x+y+11z & = 0 \end{cases}$
Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya.
$\begin{cases} -x-5y+z & = 0 && (\cdots 1) \\ 5x+3y-2z & = 5 && (\cdots 2) \\ 7x+y+11z & = 0 && (\cdots 3) \end{cases}$
Tampak bahwa persamaan $(2)$ memuat konstanta $5$ sehingga SPL tersebut tidak homogen.
Jadi, sistem persamaan linear homogen ditunjukkan oleh nomor $2$ dan $3$.
(Jawaban D)

Analisis SPLTV pada pilihan A:
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$
dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && (\cdots 1) \\ 2x-y+2z& =15 && (\cdots 2) \\ 2x-y+4z & = 15 && (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(1)$ dan $(3)$ sebenarnya ekuivalen sehingga SPLTV tersebut hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian.
Analisis SPLTV pada pilihan B:
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =45 \\ 6x-3y+12z & = 60 \end{cases}$
dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && (\cdots 1) \\ 2x-y+2z& =22,5 && (\cdots 2) \\ 2x-y+4z & = 20 && (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(1)$ dan $(3)$ tidak akan mungkin terpenuhi (perhatikan perbedaan konstantanya) sehingga SPLTV tersebut tidak memiliki penyelesaian.
Analisis SPLTV pada pilihan C:
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x+3y+12z & = 45 \end{cases}$
dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && (\cdots 1) \\ 2x-y+4z& =15 && (\cdots 2) \\ 2x+y+4z & = 15 && (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(1)$ dan $(2)$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian.
Analisis SPLTV pada pilihan D:
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$
dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && (\cdots 1) \\ 2x-y+4z& =15 && (\cdots 2) \\ 2x-y+4z & = 15 && (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(1), (2)$, dan $(3)$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $1$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian.
Analisis SPLTV pada pilihan E:
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 2x+y-4z & = 15 \end{cases}$
dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && (\cdots 1) \\ 2x-y+4z& =15 && (\cdots 2) \\ 2x+y-4z & = 15 && (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(1)$ dan $(2)$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian.
(Jawaban B)

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu.
$\begin{cases} x+y-z & =-3 && (\cdots 1) \\ x+2y+z & =7 && (\cdots 2) \\ 2x+y+z & = 4 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(1)$ dan $(2).$
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y-z & = -3 \\ x+2y+z& = 7 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned}~\color{blue}{2x+3y = 4~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(2)$ dan $(3).$
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 7 \\ 2x+y+z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x+y = 3~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$
Selanjutnya, eliminasi $x$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$ untuk mendapatkan nilai $y$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 4 \\ -x+y & = 3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+3y& = 4 \\ -2x+2y & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{2.7 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 10 \\ y & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 2$ pada persamaan $(5)$ untuk memperoleh
$-x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = -1.$
Terakhir, substitusi $x=-1$ dan $y=2$ pada persamaan $(1): x+y-z=-3$ untuk mendapatkan
$-1+2-z=-3 \Leftrightarrow z = 4.$
Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=-1+2+4=5}$
(Jawaban C)

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu.
$\begin{cases} 3x-2y-3z & =5 && (\cdots 1) \\ x+y-2z & =3 && (\cdots 2) \\ x-y+z & =-4 && (\cdots 3) \end{cases}$
Persamaan $(3)$ dapat ditulis menjadi $x = -4+y-z.$
Substitusikan pada persamaan $(1)$ terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} 3\color{red}{x}-2y-3z & = 5 \\ 3\color{red}{(-4+y-z)}-2y-3z & = 5 \\ -12+3y-3z-2y-3z & = 5 \\ y-6z & = 17 && (\cdots 4) \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusikan pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} \color{red}{x}+y-2z & = 3 \\ \color{red}{(-4+y-z)}+y-2z & = 3 \\ 2y-3z & = 7 && (\cdots 5) \end{aligned}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$ untuk menentukan nilai $z$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} y-6z & = 17 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2y-12z& = 34 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \\ & \rule{2.7 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -9z & = 27 \\ z & = -3 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{z_0 = -3}$
(Jawaban A)

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu.
$\begin{cases} x+y+z & =1 && (\cdots 1) \\ 2x-y-z & = -5 && (\cdots 2) \\ 2x-2y-z & = 7 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dan $z$ pada persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y+z & = 1 \\ 2x-y-z & = -5 \end{aligned} \\ \rule{3.1 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -4 \\ x & = -\dfrac43 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x = -\dfrac43}$
(Jawaban B)

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu.
$\begin{cases} x+4y-z & =1 && (\cdots 1) \\ -x+2y+z & =2 && (\cdots 2) \\ 2x+6y+z & =-8 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dan $z$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+4y-z & = 1 \\ -x+2y+z & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 6y & = 3 \\ y & = \dfrac36 = \dfrac12\end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $(1): x+4y-z=1$.
$\begin{aligned} x+4\left(\dfrac12\right)-z & = 1 \\ x+2-z&=1 \\ x-z&=-1 && (\cdots 4) \end{aligned}$
Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $(3): 2x+6y+z=-8$.
$\begin{aligned} 2x+6\left(\dfrac12\right)+z & = -8 \\ 2x+3+z &=-8 \\ 2x+z&=-11 && (\cdots 5) \end{aligned}$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-z & = -1 \\ 2x+z & = -11 \end{aligned} \\ \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -12 \\ x & = \dfrac{-12}{3} = -4 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = -4$ pada persamaan $(4): x-z = -1$ sehingga diperoleh
$-4-z = -1 \Leftrightarrow z = -3.$
Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = (-4)\left(\dfrac12\right)(-3) = 6}$
(Jawaban D)

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu.
$\begin{cases} 2x-5y+3z=-10 & (\cdots 1) \\ 3x+4y+7z=-11 & (\cdots 2) \\ 5x+3y+7z=-8 & (\cdots 3) \end{cases}$
Perhatikan bahwa persamaan $(2)$ dan $(3)$ memuat ekspresi $7z$ sehingga variabel $z$ sebaiknya dieliminasi lebih dulu.
Eliminasi $z$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-5y+3z& = -10 \\ 3x+4y+7z &=-11 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~14x-35y+21z& = -70\\ 9x+12y+21z & = -33 \end{aligned} \\ & \rule{4.5 cm}{0.8pt} – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{5x-47y= -37~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$$Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+4y+7z & = -11 \\ 5x+3y+7z & = -8 \end{aligned} \\ \rule{3.8 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-2x+y = -3~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x-47y & = -37 \\ -2x+y &=-3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 5 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~10x-94y& = -74 \\ -10x+5y & = -15 \end{aligned} \\ & \rule{3.7 cm}{0.8pt} + \\ & \! \begin{aligned} -89y & = -89 \\ y & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 1$ pada persamaan $(5): -2x+y=-3$.
$-2x+1 = -3 \Leftrightarrow x = 2.$
Substitusikan $x = 2$ dan $y = 1$ pada persamaan $(1): 2x-5y+3z=-10$.
$\begin{aligned} 2(2)-5(1)+3z & = -10 \\ 4-5+3z & = -10 \\ 3z & = -9 \\ z & = -3 \end{aligned}$
Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = (2)(1)(-3) = -6}$
(Jawaban B)

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu, lalu sederhanakan persamaan ketiga.
$\begin{cases} 3x+7y+2z & =8 && (\cdots 1) \\ 4x+2y-5z & =-19 && (\cdots 2) \\ 3y-2z & =7 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan persamaan $(2).$
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+7y+2z & = 8\\ 4x+2y-5z &=-19 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~12x+28y+8z& = 32 \\ 12x+6y-15z & = -57 \end{aligned} \\ & \rule{4.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{22y + 23z = 89~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$$Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $(3)$ dan $(4).$
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3y-2z & = 7 \\ 22y+23z & = 89 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 23 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~69y-46z & = 161 \\ 44y+46z & = 178 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 113y & = 339 \\ y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 3$ pada persamaan $(3): 3y-2z=7$.
$\begin{aligned} 3(3)-2z & = 7 \\ 9-2z & = 7 \\ -2z & = -2 \\ z & = 1 \end{aligned}$
Terakhir, substitusi $y=3$ dan $z = 1$ pada persamaan $(1): 3x+7y+2z=8$.
$\begin{aligned} 3x+7(3)+2(1) & = 8 \\ 3x + 23 & = 8 \\ 3x & = -15 \\ x & = -5 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah $x = -5, y = 3$, dan $z = 1$.
(Jawaban E)

Ubah bentuk setiap persamaan dari sistem tersebut menjadi bentuk umum.
$\begin{cases} x-3y+2z & = 2 && (\cdots 1) \\ 4x+y-z & = -7 && (\cdots 2) \\ 2x+2y+3z& = 22 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ 4x+y-z & = -7 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~x-3y+2z& = 2 \\~8x+2y-2z & = -14 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{9x-y = -12~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x+y-z & = -7 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~12x+3y-3z & = -21 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{14x+5y = 1~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $y$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 5 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~45x-5y & = -60 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 59x & = -59 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = -1$ pada persamaan $(4)$.
$\begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ \Rightarrow 9(-1)-y & = -12 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$
Substitusi $x = -1$ dan $y=3$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ \Rightarrow (-1)-3(3)+2z & = 2 \\ -10+2z & = 2 \\ 2z & = 12 \\ z & = 6 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian dari sistem tersebut adalah $\boxed{x = -1, y = 3, z = 6}$
(Jawaban D)

Tanpa perlu mencari nilai $x, y, z$ masing-masing, kita dapat menentukan nilai dari $x+y+z$.
Diberikan SPLTV berikut.
$\begin{cases} x+2y+z & =6 && (\cdots 1) \\ x+3y+2z & =9 && (\cdots 2) \\ 2x+y+2z & =12 && (\cdots 3) \end{cases}$
Jumlahkan ekspresi pada persamaan $(1)$ dan $(3)$,
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 6 \\ 2x+y+2z & = 12 \end{aligned} \\ \rule{3.8 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 3x+3y+3z & = 18 \\ x+y+z & = 6\end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=6}$
(Jawaban C)

Diketahui $(x, y, z) = (-2, -3, 4)$ merupakan penyelesaian SPLTV tersebut. Substitusi nilai-nilai $x, y, z$ ini pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} 2x+y+5z & = 6a + 1 \\ 2(-2) + (-3) + 5(4) & = 6a+1 \\ -4+(-3)+20 & = 6a+1 \\ 12 & = 6a \\ a & = 2 \end{aligned}$
Substitusi nilai $(x, y, z) = (-2, -3, 4)$ dan $a = 2$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 3x-y+4z&=5a+b \\ 3(-2)-(-3)+4(4) & = 5(2)+b \\ -6+3+16 & = 10+b \\ b & = 3 \end{aligned}$
Substitusikan nilai $(x, y, z) = (-2, -3, 4)$, $a = 2$, dan $b = 3$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x+5y+2z & = -a-b-c \\ (-2)+5(-3)+2(4) & = -2-3-c \\ -2-15+8 & = -5-c \\ -9 & = -5-c \\ c & = 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{2a+b+3c = 2(2)+3+3(4) = 19}$
(Jawaban D)

Jika diketahui SPLTV
$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$$memiliki banyak penyelesaian, maka $\dfrac{a_i}{a_j} = \dfrac{b_i}{b_j} = \dfrac{c_i}{c_j} = \dfrac{d_i}{d_j}$, dengan $i = 1, 2, 3$ dan $j = 1, 2, 3.$
Dengan meninjau persamaan $(2)$ dan $(3)$, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac46 & = \dfrac{10}{15} = \dfrac69 = \dfrac{d_2}{d_3} \\ \dfrac{d_2}{d_3} & = \dfrac23 \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa nilai $d_2$ dan $d_3$ yang mungkin harus memiliki perbandingan $2 : 3$. Salah satunya adalah $d_2 = 18$ dan $d_3 = 27$, sebab $18 : 27 = 2 : 3.$
(Jawaban C)

Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ bx-y+3z & = 3 \end{aligned} \\ \rule{3.8 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} (a+b)x+5z & = 8 \end{aligned} \end{aligned}$
Karena diketahui $a + b = 7$, maka diperoleh persamaan $(4): 7x+5z=8$.
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ cx-y+z & = -1 \end{aligned} \\ \rule{3.8 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} (a+c)x+3z & = 4 \end{aligned} \end{aligned}$
Karena diketahui $a + c = 5$, maka diperoleh persamaan $(5): 5x+3z=4$.
Selanjutnya, jumlahkan ekspresi pada persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x +5z & = 8 \\ 5x+3z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{3.3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 12x+8z & = 12 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{12x+8z=12}$
(Jawaban C)

Misalkan $a = \dfrac{1}{x}, b = \dfrac{1}{y}$, dan $c = \dfrac{1}{z}$ sehingga terbentuk sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
$\begin{cases} a + b & = 2 && (\cdots 1) \\ 2b-c & = -3 && (\cdots 2) \\ a-c & = 2 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $a$ dari persamaan $(1)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 2 \\ a-c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{2.4 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{b+c = 0~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $(2)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b-c & = -3 \\ b+c & = 0 \end{aligned} \\ \rule{2.5 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned}3b & = -3 \\ b & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $(4): b+c = 0$ untuk memperoleh
$-1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1$
Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $(1): a+b=2$ untuk memperoleh
$a+(-1)=2 \Leftrightarrow a = 3$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x + y + z & = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\ & = \dfrac13 + \cancel{\dfrac{1}{-1} + \dfrac{1}{1}} \\ & = \dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=\dfrac13}$
(Jawaban E)

Misalkan $a = \dfrac{1}{x+1}$, $b = \dfrac{1}{y-3}$, dan $c = \dfrac{1}{z+2}$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel.
$\begin{cases} 2a + 2b + 3c & = 2 && (\cdots 1) \\ -4a + b + 6c & = 5 && (\cdots 2) \\ 4a + 3b + 3c & = 2 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+2b+3c & = 2 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4a+4b+6c& = 4 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{8a + 3b = -1~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $c$ dari persamaan $(3)$ dan $(1)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4a+3b+3c & = 2 \\ 2a+2b+3c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+b = 0~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $b$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 8a+3b & = -1 \\ 2a+b & = 0 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~8a+3b& = -1 \\ 6a+3b & = 0 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 2a & = -1 \\ a & = -\dfrac12 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $a = -\dfrac12$ pada persamaan $(5)$.
$\begin{aligned} 2a+b & = 0 \\ \Rightarrow 2\left(-\dfrac12\right) + b & = 0 \\ -1 + b & = 0 \\ b & = 1 \end{aligned}$
Substitusi $a = -\dfrac12$ dan $b=1$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2a + 2b + 3c & = 2 \\ \Rightarrow 2\left(-\dfrac12\right) + 2(1) + 3c & = 2 \\ -1 + 2 + 3c & = 2 \\ 3c & = 1 \\ c & = \dfrac13 \end{aligned}$
Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat.
$$\begin{aligned} a & = \dfrac{1}{x+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{x+1} \Leftrightarrow -2 = x + 1 \Leftrightarrow x = -3 \\ b & = \dfrac{1}{y-3} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{y-3} \Leftrightarrow 1 = y-3 \Leftrightarrow y = 4 \\ c & = \dfrac{1}{z+2} \Rightarrow \dfrac13 = \dfrac{1}{z+2} \Leftrightarrow 3 = z+2 \Leftrightarrow z = 1 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{(-3, 4, 1)\}$
(Jawaban A)

Karena $x : y = 5 : 3 = 20 : 12$ dan $y : z = 4 : 5 = 12 : 15$, maka $x : y : z = 20 : 12 : 15$.
Diketahui $2(x+y+z)=94 \Leftrightarrow x+y+z=47.$
Dengan demikian
$\begin{aligned} y & = \dfrac{12}{20+12+15} \times 47 \\ & =  \dfrac{12}{\cancel{47}} \times \cancel{47} = 12 \end{aligned}$
Untuk itu, nilai dari $\boxed{3y = 3(12) = 36}$
(Jawaban D)

Dari perbandingan $x : y : z = 2 : 1 : 3$, diketahui bahwa $x = 2y$ dan $z = 3y$.
Substitusikan pada persamaan $x+y-2z=-6$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} (2y)+y-2(3y) & = -6 \\ 2y+y-6y & = -6 \\ -3y & = -6 \\ y & = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, $x = 2y = 2(2) = 4$ dan $z = 3y = 3(2) = 6$. Jadi, nilai dari $\boxed{x-y+z=4-2+6=8}$
(Jawaban A)

Misalkan $a = x^2$, $b = y^2$, dan $c = z^2$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel.
$\begin{cases} a+b+c & = 6 && (\cdots 1) \\ a-b+2c & = 2 && (\cdots 2) \\ 2a+b-c & = 3 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $b$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+b+c & = 6 \\ a-b+2c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+3c = 8~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $b$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-b+2c & = 2 \\ 2a+b-c & = 3 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{3a+c = 5~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+3c & = 8 \\ 3a+c & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2a+3c& = 8 \\ 9a+3c & = 15 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -7a & = -7 \\ a & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $a=1$ pada persamaan $(5): 3a + c = 5$.
$\begin{aligned} 3(1) + c & = 5 \\ c & = 2 \end{aligned}$
Substitusi $a = 1$ dan $c = 2$ pada persamaan $(1): a+b+c = 6$
$\begin{aligned} 1+b+2 & = 6 \\ b & = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat.
$\begin{aligned} a & = x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \\ b & = y^2 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt3 \\ c & = z^2 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, salah satu himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{(-1, \sqrt3, \sqrt2)\}.$
(Jawaban B)

Diketahui
$$\begin{cases} x+2y-3z & =4 && (\cdots 1) \\ 3x-y+5z & =2 && (\cdots 2)  \\ 4x+y+(a^2-14)z & = a+2 && (\cdots 3) \end{cases}$$Matriks koefisien dari SPLTV tersebut adalah $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix}.$ Sistem di atas tidak akan memiliki solusi jika dan hanya jika determinan matriks koefisiennya bernilai $0$. Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix} & = 0 \\ \text{Gunakan Aturan Sarrus} & \\ -(a^2-14)+40-9-(12+5+6a^2-84) & = 0 \\ -7a^2 + 112 & = 0 \\ a^2 -16 & = 0 \\ (a+4)(a-4) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = -4$ atau $a = 4.$ Namun, perlu diperiksa bahwa $a = 4$ membuat persamaan $(3)$ menjadi $4x + y + 2z = 6$ dan persamaan ini setara dengan menjumlahkan persamaan $(1)$ dan $(2)$ sehingga kita simpulkan bahwa $a = 4$ akan membuat sistem memiliki banyak solusi. Jadi, nilai $a$ yang membuat sistem tidak memiliki solusi hanya $\boxed{a = -4}$
(Jawaban E)

Namai setiap persamaan pada SPLTV yang diberikan.
$$\begin{cases} x-2y-2z & = 1 && (\cdots 1) \\ 3x-y + z & = -1 && (\cdots 2) \\ 2x+y-z & = 6 && (\cdots 3) \end{cases}$$Pasangan terurut $(x, y, z)$ dikatakan sebagai penyelesaian dari SPLTV jika ketiga nilai variabel tersebut memenuhi ketiga persamaan pada SPLTV secara sekaligus ketika disubstitusikan.
Jawaban a)
$(x, y, z) = (1, -2, -2)$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $(1).$
$$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow 1-2(-2)-2(-2) & = 1 \\ 9 & = 1 && (\text{salah}) \end{aligned}$$Jawaban b)
$(x, y, z) = (-1, 2, -2)$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $(1).$
$$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow -1-2(2)-2(-2) & = 1 \\ -1-4 + 4 & = 1 \\ -1 & = 1 && (\text{salah}) \end{aligned}$$Jawaban c)
$(x, y, z) = (1, 2, -2)$ merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena memenuhi semua persamaan pada SPLTV tersebut secara sekaligus. Cara memeriksanya adalah dengan menyubstitusikan nilai $x, y, z$ masing-masing pada ketiga persamaan dan lihat apakah persamaan tersebut nantinya bernilai benar/salah.
Persamaan $(1)$:
$$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow 1-2(2)-2(-2) & = 1 \\ 1-4+4 & = 1 \\ 1 & = 1 && (\text{benar}) \end{aligned}$$Persamaan $(2)$:
$$\begin{aligned} 3x-y + z & = -1 \\ \Rightarrow 3(1)-2+(-2) & = -1 \\ 3-2-2 & = -1 \\ -1 & = -1 && (\text{benar}) \end{aligned}$$Persamaan $(3)$:
$$\begin{aligned} 2x+y-z & = 6 \\ \Rightarrow 2(1) + 2-(-2) & = 6 \\ 2+2+2 & = 6 \\ 6 & = 6 && (\text{benar}) \end{aligned}$$Jawaban d)
$(x, y, z) = (-1, -2, 2)$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $(1).$
$$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow -1-2(-2)-2(2) & = 1 \\ -1 + 4-4 & = 1 \\ -1 & = 1 && (\text{salah}) \end{aligned}$$

Ubah setiap persamaan dalam sistem menjadi bentuk umum persamaan linear dan hindari bentuk pecahan guna mempermudah perhitungan.
Pada persamaan $(1)$,
$\begin{aligned} \dfrac{2x-y}{5} & = z+1 \\ 2x-y & = 5z + 5 \\ 2x-y-5z & = 5 \end{aligned}$
Pada persamaan $(2)$,
$\begin{aligned} 3x+2 & = y+2z \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned}$
Pada persamaan $(3)$,
$\begin{aligned} \dfrac{5x+2z}{3} & = -\dfrac{y+9}{4} \\ 4(5x+2z) & = -3(y+9) \\ 20x+8z & = -3y-27 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned}$
Sekarang, dapat kita tuliskan SPLTV berikut.
$\begin{cases} 2x-y-5z & = 5 && (\cdots 1) \\ 3x-y-2z & = -2 && (\cdots 2) \\ 20x+3y+8z & = -27 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ pada persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x-3z = 7~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $y$ pada persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x-y-2z & = -2 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~9x-3y-6z& = -6 \\~20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \\ & \rule{4.2 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{29x+2z = -33~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ 29x+2z & = -33 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} -2x-6z & = 14 \\ 87x+6z & = -99 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 85x & = -85 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan $x = -1$ pada persamaan $(4)$.
$\begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ \Rightarrow -(-1)-3z & = 7 \\ -3z & = 6 \\ z & = -2 \end{aligned}$
Substitusikan $x = -1$ dan $z = -2$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ \Rightarrow 2(-1)-y-5(-2) & = 5 \\ -2-y+10 & = 5 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah $\boxed{(x,y,z) = (-1, 3, -2)}$

Jawaban a)
Misalkan $a = \dfrac{1}{x+2}$, $b = \dfrac{1}{y+1}$, dan $c = \dfrac{1}{z-1}$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel.
$\begin{cases} -4a+4b+9c & = -6 && (\cdots 1) \\ 8a-6b+3c& = 4 && (\cdots 2) \\ 4a+2b-6c & = 2 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $a$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} -8a+8b+18c & = -12 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \\ & \rule{4.2 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{2b+21c = -8~~~(\cdots 4)}\end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $a$ dari persamaan $(1)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 4a+2b-6c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{6b+3c = -4~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $b$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b+21c & = -8 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6b+63c& = -24 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \\ & \rule{3.1 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 60c & = -20 \\ c & = -\dfrac13 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $c = -\dfrac13$ pada persamaan $(5)$.
$\begin{aligned} 6b + 3c & = -4 \\ \Rightarrow 6b + 3\left(-\dfrac13\right) & = -4 \\ 6b-1& = -4 \\ 6b & = -3 \\ b & = -\dfrac12 \end{aligned}$
Substitusi $b = -\dfrac12$ dan $c = -\dfrac13$ pada persamaan $(3)$.
$$\begin{aligned} 4a+2b-6c & = 2 \\ 2a + b-3c & = 1 && (\text{Bagi}~2) \\ \Rightarrow 2a+\left(-\dfrac12\right)-3\left(-\dfrac13\right) & = 1 \\ 2a-\dfrac12+1 & = 1 \\ 2a & = \dfrac12 \\ a & = \dfrac14 \end{aligned}$$Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat.
$$\begin{aligned} a &= \dfrac{1}{x+2} \Rightarrow \dfrac14 = \dfrac{1}{x+2} \Leftrightarrow 4 = x + 2 \Leftrightarrow x = 2 \\ b &= \dfrac{1}{y+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{y+1} \Leftrightarrow -2 = y+1 \Leftrightarrow y = -3 \\ c & = \dfrac{1}{z-1} \Rightarrow -\dfrac13 = \dfrac{1}{z-1} \Leftrightarrow -3 = z-1 \Leftrightarrow z = -2 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{(2, -3, -2)\}$
Jawaban b)
Substitusi $(x, y, z) = (2, -3, -2)$ pada ekspresi $5x-y-2z$ untuk memperoleh
$$\boxed{5(2)-(-3)-2(-2) = 10+3+4 = 17}$$

Pertama-tama, kalikan $5$ di kedua ruas pada persamaan $(3)$ untuk menghindari bentuk pecahan.
$$\begin{cases} 2KL-LM & = 17~\text{cm} && (\cdots 1) \\ LM+2KM & = 73~\text{cm} && (\cdots 2) \\ 5KL+KM & = 125~\text{cm} && (\cdots 3) \end{cases}$$Eliminasi $LM$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ LM+2KM & = 73 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2KL+2KM & = 90 \\ KL + KM & = 45~~~~(\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $KM$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5KL+KM & = 125 \\ KL+KM & = 45 \end{aligned} \\ \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 4KL & = 80 \\ KL & = 20~\text{cm} \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $(4)$.
$\begin{aligned} KL + KM & = 45 \\ 20 + KM & = 45 \\ KM & = 25~\text{cm} \end{aligned}$
Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ 2(20)-LM & = 17 \\ LM & = 23~\text{cm} \end{aligned}$
Jawaban a)
Panjang sisi $KM$ adalah $\boxed{25~\text{cm}}$
Jawaban b)
Panjang sisi $KL$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}$
Jawaban c)
Keliling segitiga $KLM$ dapat ditentukan dengan menjumlahkan semua paniang sisinya, yaitu
$\begin{aligned} k & = KL + KM + LM \\ & = 20+25+23 = 68~\text{cm}. \end{aligned}$